数据结构_7

学习过程主要依照中国MOOC课程，感谢MOOC，感谢浙大授课大佬。

最小生成树问题

概念

1. 是一棵树

• 无回路
• |v|个顶点一定有|v|-1条边

2. 是生成树

• 包含所有顶点
• |v|-1条边都在图里
• 向生成树中任加一条边都一定构成回路

3. 最小

• 边的权重和最小

如何构建

贪心算法：每次找权值最小的边，但有约束：

• 只能用图里有的边
• 只能正好用掉v-1条边
• 不能有回路

1. Prim算法–让一颗小树长大

适合稠密图，时间复杂度O(|V|²)

/* 邻接矩阵存储 - Prim最小生成树算法 */
  
 Vertex FindMinDist( MGraph Graph, WeightType dist[] )
 { /* 返回未被收录顶点中dist最小者 */
     Vertex MinV, V;
     WeightType MinDist = INFINITY;
  
     for (V=0; V<Graph->Nv; V++) {
         if ( dist[V]!=0 && dist[V]<MinDist) {
             /* 若V未被收录，且dist[V]更小 */
             MinDist = dist[V]; /* 更新最小距离 */
             MinV = V; /* 更新对应顶点 */
         }
     }
     if (MinDist < INFINITY) /* 若找到最小dist */
         return MinV; /* 返回对应的顶点下标 */
     else return ERROR;  /* 若这样的顶点不存在，返回-1作为标记 */
 }
  
 int Prim( MGraph Graph, LGraph MST )
 { /* 将最小生成树保存为邻接表存储的图MST，返回最小权重和 */
     WeightType dist[MaxVertexNum], TotalWeight;
     Vertex parent[MaxVertexNum], V, W;
     int VCount;
     Edge E;
      
     /* 初始化。默认初始点下标是0 */
        for (V=0; V<Graph->Nv; V++) {
         /* 这里假设若V到W没有直接的边，则Graph->G[V][W]定义为INFINITY */
            dist[V] = Graph->G[0][V];
            parent[V] = 0; /* 暂且定义所有顶点的父结点都是初始点0 */ 
     }
     TotalWeight = 0; /* 初始化权重和     */
     VCount = 0;      /* 初始化收录的顶点数 */
     /* 创建包含所有顶点但没有边的图。注意用邻接表版本 */
     MST = CreateGraph(Graph->Nv);
     E = (Edge)malloc( sizeof(struct ENode) ); /* 建立空的边结点 */
             
     /* 将初始点0收录进MST */
     dist[0] = 0;
     VCount ++;
     parent[0] = -1; /* 当前树根是0 */
  
     while (1) {
         V = FindMinDist( Graph, dist );
         /* V = 未被收录顶点中dist最小者 */
         if ( V==ERROR ) /* 若这样的V不存在 */
             break;   /* 算法结束 */
              
         /* 将V及相应的边<parent[V], V>收录进MST */
         E->V1 = parent[V];
         E->V2 = V;
         E->Weight = dist[V];
         InsertEdge( MST, E );
         TotalWeight += dist[V];
         dist[V] = 0;
         VCount++;
          
         for( W=0; W<Graph->Nv; W++ ) /* 对图中的每个顶点W */
             if ( dist[W]!=0 && Graph->G[V][W]<INFINITY ) {
             /* 若W是V的邻接点并且未被收录 */
                 if ( Graph->G[V][W] < dist[W] ) {
                 /* 若收录V使得dist[W]变小 */
                     dist[W] = Graph->G[V][W]; /* 更新dist[W] */
                     parent[W] = V; /* 更新树 */
                 }
             }
     } /* while结束*/
     if ( VCount < Graph->Nv ) /* MST中收的顶点不到|V|个 */
        TotalWeight = ERROR;
     return TotalWeight;   /* 算法执行完毕，返回最小权重和或错误标记 */
 }

2. Kruskal算法–将森林合并成树

适合稀疏图，时间复杂度最小可为O(|E|Log|E|)

/* 邻接表存储 - Kruskal最小生成树算法 */
 
/*-------------------- 顶点并查集定义 --------------------*/
typedef Vertex ElementType; /* 默认元素可以用非负整数表示 */
typedef Vertex SetName;     /* 默认用根结点的下标作为集合名称 */
typedef ElementType SetType[MaxVertexNum]; /* 假设集合元素下标从0开始 */
 
void InitializeVSet( SetType S, int N )
{ /* 初始化并查集 */
    ElementType X;
 
    for ( X=0; X<N; X++ ) S[X] = -1;
}
 
void Union( SetType S, SetName Root1, SetName Root2 )
{ /* 这里默认Root1和Root2是不同集合的根结点 */
    /* 保证小集合并入大集合 */
    if ( S[Root2] < S[Root1] ) { /* 如果集合2比较大 */
        S[Root2] += S[Root1];     /* 集合1并入集合2  */
        S[Root1] = Root2;
    }
    else {                         /* 如果集合1比较大 */
        S[Root1] += S[Root2];     /* 集合2并入集合1  */
        S[Root2] = Root1;
    }
}
 
SetName Find( SetType S, ElementType X )
{ /* 默认集合元素全部初始化为-1 */
    if ( S[X] < 0 ) /* 找到集合的根 */
        return X;
    else
        return S[X] = Find( S, S[X] ); /* 路径压缩 */
}
 
bool CheckCycle( SetType VSet, Vertex V1, Vertex V2 )
{ /* 检查连接V1和V2的边是否在现有的最小生成树子集中构成回路 */
    Vertex Root1, Root2;
 
    Root1 = Find( VSet, V1 ); /* 得到V1所属的连通集名称 */
    Root2 = Find( VSet, V2 ); /* 得到V2所属的连通集名称 */
 
    if( Root1==Root2 ) /* 若V1和V2已经连通，则该边不能要 */
        return false;
    else { /* 否则该边可以被收集，同时将V1和V2并入同一连通集 */
        Union( VSet, Root1, Root2 );
        return true;
    }
}
/*-------------------- 并查集定义结束 --------------------*/
 
/*-------------------- 边的最小堆定义 --------------------*/
void PercDown( Edge ESet, int p, int N )
{ /* 改编代码4.24的PercDown( MaxHeap H, int p )    */
  /* 将N个元素的边数组中以ESet[p]为根的子堆调整为关于Weight的最小堆 */
    int Parent, Child;
    struct ENode X;
 
    X = ESet[p]; /* 取出根结点存放的值 */
    for( Parent=p; (Parent*2+1)<N; Parent=Child ) {
        Child = Parent * 2 + 1;
        if( (Child!=N-1) && (ESet[Child].Weight>ESet[Child+1].Weight) )
            Child++;  /* Child指向左右子结点的较小者 */
        if( X.Weight <= ESet[Child].Weight ) break; /* 找到了合适位置 */
        else  /* 下滤X */
            ESet[Parent] = ESet[Child];
    }
    ESet[Parent] = X;
}
 
void InitializeESet( LGraph Graph, Edge ESet )
{ /* 将图的边存入数组ESet，并且初始化为最小堆 */
    Vertex V;
    PtrToAdjVNode W;
    int ECount;
 
    /* 将图的边存入数组ESet */
    ECount = 0;
    for ( V=0; V<Graph->Nv; V++ )
        for ( W=Graph->G[V].FirstEdge; W; W=W->Next )
            if ( V < W->AdjV ) { /* 避免重复录入无向图的边，只收V1<V2的边 */
                ESet[ECount].V1 = V;
                ESet[ECount].V2 = W->AdjV;
                ESet[ECount++].Weight = W->Weight;
            }
    /* 初始化为最小堆 */
    for ( ECount=Graph->Ne/2; ECount>=0; ECount-- )
        PercDown( ESet, ECount, Graph->Ne );
}
 
int GetEdge( Edge ESet, int CurrentSize )
{ /* 给定当前堆的大小CurrentSize，将当前最小边位置弹出并调整堆 */
 
    /* 将最小边与当前堆的最后一个位置的边交换 */
    Swap( &ESet[0], &ESet[CurrentSize-1]);
    /* 将剩下的边继续调整成最小堆 */
    PercDown( ESet, 0, CurrentSize-1 );
 
    return CurrentSize-1; /* 返回最小边所在位置 */
}
/*-------------------- 最小堆定义结束 --------------------*/
 
 
int Kruskal( LGraph Graph, LGraph MST )
{ /* 将最小生成树保存为邻接表存储的图MST，返回最小权重和 */
    WeightType TotalWeight;
    int ECount, NextEdge;
    SetType VSet; /* 顶点数组 */
    Edge ESet;    /* 边数组 */
 
    InitializeVSet( VSet, Graph->Nv ); /* 初始化顶点并查集 */
    ESet = (Edge)malloc( sizeof(struct ENode)*Graph->Ne );
    InitializeESet( Graph, ESet ); /* 初始化边的最小堆 */
    /* 创建包含所有顶点但没有边的图。注意用邻接表版本 */
    MST = CreateGraph(Graph->Nv);
    TotalWeight = 0; /* 初始化权重和     */
    ECount = 0;      /* 初始化收录的边数 */
 
    NextEdge = Graph->Ne; /* 原始边集的规模 */
    while ( ECount < Graph->Nv-1 ) {  /* 当收集的边不足以构成树时 */
        NextEdge = GetEdge( ESet, NextEdge ); /* 从边集中得到最小边的位置 */
        if (NextEdge < 0) /* 边集已空 */
            break;
        /* 如果该边的加入不构成回路，即两端结点不属于同一连通集 */
        if ( CheckCycle( VSet, ESet[NextEdge].V1, ESet[NextEdge].V2 )==true ) {
            /* 将该边插入MST */
            InsertEdge( MST, ESet+NextEdge );
            TotalWeight += ESet[NextEdge].Weight; /* 累计权重 */
            ECount++; /* 生成树中边数加1 */
        }
    }
    if ( ECount < Graph->Nv-1 )
        TotalWeight = -1; /* 设置错误标记，表示生成树不存在 */
 
    return TotalWeight;
}

以上。

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